倾斜矿体在空场法开采后，在地下岩层内部形成受间柱分割的多层错开的采空区，空区顶板倾斜，受应力集中分布作用，空区间柱及空区顶板拐角处由于节理裂隙逐步扩展而形成塑性铰区.另外，空区顶板岩体在冒落过程中，冒落线形态很好地近似于拱形^[10].根据冒落规律，在应力场作用下，空区顶板承载机构可由岩梁形式转为自稳能力充分发挥的拱形结构.并由于倾斜空区顶板两个拐角竖向存在高差，所以将倾斜空区顶板假设成半跨拱形承载机构(见图1).

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 倾斜空区顶板受力分析图 Fig. 1 Force diagram of the tilted roof(a)—倾斜空区分布图； (b)—空区顶板承载机构受力图.

图1a表现了倾斜空区在地下空间的分布形式，以及半跨拱承载结构的假设形式，s为间柱宽度(平面问题)，f为空区顶板两拐角位置的高差(即拱失)，L为空区跨度(即拱承载结构半跨值).图1b中包括实线和虚线两个部分，左侧实线为空区顶板部分，右侧虚线为假设拱形的另一半跨度；三个铰支(A,B,C)，A点相当于倾斜空区顶板的低位拐点，C点相当于倾斜空区顶板的高位拐点；2L为合理拱形全跨度，q(x)为倾斜空区顶板上覆荷载.根据倾斜空区顶板客观实际情况，建立符合工程实际的力学分析模型，对空区顶板岩层稳定性和可冒性等进行研究.

根据冒落规律，当倾斜空区顶板失稳冒落后，顶板岩体的承载机构发生了转变，由梁(或深梁)转为拱形承载，由主要抵抗拉应力转为抵抗压应力，向着更有利于岩体承载特性的结构发展，这一承载机构将是评价空区围岩稳定性的关键.为此，依据倾斜空区顶板形态、受力特征，建立三铰拱轴曲线力学模型^[11].

1) 合理拱轴形式.根据结构理论，当承载结构上覆荷载一定时，会存在一合理三铰拱轴，该合理拱轴上各点只受轴力作用，而无剪切应力和弯矩(图2).此时，拱形承载机构达到最大承载能力.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 三铰拱轴曲线模型受力分析图 Fig. 2 Force diagram of three hinged arch axis curve structure

图中:H,R为支座反力;N为任意截面的轴力;q(x)为上覆荷载.当上覆荷载确定不变后，拱轴曲线将会是方程y(x)的表现形式，它会是结构跨度L和拱失f的关系方程：

其中:M_c^o则是拱失位置对应梁上的弯矩值；M^o(x)表示拱结构对应相等跨度下的梁弯矩方程，是支座反力和上覆荷载的函数，而上覆荷载又是跨度L的函数，即：

根据已知荷载等条件，可由式(1)~式(3)得出合理三铰拱轴曲线方程，该拱结构上只承受轴力作用.

2) 拱结构轴力.根据图2所示，可以推导出任意拱截面上轴力N，它是上覆荷载q(x)与拱轴方程y(x)的函数：

根据式(4)可知拱结构中轴力极点的位置，即N′(x)=0，求出极值点的坐标(x,y).同时，还要与空区拱脚节点的轴力值大小{平面坐标点(0,0)，(L，f)处的轴压力}进行比较(往往拱脚处的轴压力为拱轴内应力的最大值所在位置)，最后可以获得拱结构全长各截面的轴力分布图.

3) 拱结构稳定性分析.令式(4)左侧的轴力值与σ₁·s进行比较，便可得到：

式中：σ₁为等效岩体抗压强度;s为结构件断面面积，平面问题时s即为结构件的宽度.

具体比较，根据矿山井下现场实际情况，将空区跨度L、拱失f、矿(岩)柱的水平宽度s、上覆荷载q(x)代入上述各式计算得到合理拱轴轴力函数N(x)(拱脚处的轴压力)和合理拱轴曲线y(x).按照公式(5)进行比较，若拱脚处轴压力N(拱脚处轴力最大)大于左侧σ₁·s则该位置不安全，反之安全稳定.

再者，反过来将等效岩体抗压强度σ₁代入式(5)，令公式左右两侧相等，则可以估算求解空区临界冒落跨度L_临界(因为N是L的函数，目的是求得空区最大允许跨度，以便判别空区跨度扩大到多少数值或者是采场布置多大跨度值时达到安全极限)；另外，根据合理拱轴曲线形式y(x)确定岩体失稳冒落时的冒落线y(x)，估计岩体冒落范围(冒落线以下的空区顶板岩体)，给空区冒落后顶板形态分析提供依据.

排山楼金矿采空区分布复杂、规模较大，在+275 m水平投影面积高达11 250 m²，沿最危险X勘探线方向的横向跨度最大值已近85 m，纵向跨度近130 m.大规模联通空区主要分布在IV~XVI线之间，空区体积约50万m³.空区紧靠露天坑北帮侧，顶板与地表斜交，顶板倾角25°~35°，地表边界为露天开采境界，境界坡面角为29°~50°.在空区跨度最大的第X勘探线上，空区顶板倾角33°，地表露采境界坡面角约29°.其中在X勘探线剖面上，空区顶盖厚度为36~80 m，顶板斜交地表距离仅10 m.

按照三铰拱轴曲线模型对该平面问题进行分析.X线上位空区顶板与露天边坡斜交，顶板倾角33°，边坡坡度29°，空区顶板厚度36~138 m，岩石体重γ=2.75 t/m²(平面问题).根据空区在X线的剖面形态(见图3)，将该跨度空区假设为半跨L的拱结构.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 X线剖面中段空区位置关系 Fig. 3 Position relation of the middle goaf about X catenary profile

拱形结构受上覆载荷q(x)作用(见图1b)，左侧实线为空区顶板部分，右侧虚线为假设拱形的另一半跨度.由空区顶板形态可知q(x)在x=0处的值分解为3部分，即：

使结构平衡，可得拱结构的垂向支座反力为

再求出半跨处及全跨对应简支梁的弯矩M_c⁰和M⁰为

进而根据式(1)和式(2)表示出水平支座反力H及合理拱轴方程y(x).

对式(2)的x进行一阶求导，并令其为0，可以计算出合理拱轴的顶点坐标(x,y)，该点就是合理拱形的最高点.

再根据对拱形结构任一截面对A支座铰点的弯矩平衡方程求解，可得到合理拱轴上的轴力方程N：

对式(9)进行x一阶求导，令其得零可计算出N(x)的极值点.

对g取值为10 N/kg，将+275 m水平空区X线剖面的实际跨度L=85 m，f=68 m代入以上各式，可以求出合理拱轴方程和轴力的具体表达式，以及合理拱轴的最高点坐标.本工程实例最高点坐标值：x=56.8，y=80.449，轴力方程曲线如图4a所示.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 合理拱形轴力分布曲线 Fig. 4 The distribution curves of reasonable arched axial force(a)—+275 m水平空区； (b)—+225 m水平空区； (c)—临界跨度区.

图4a中轴力的最大值在A支座的拱脚处(即图3中上下中段空区的间柱上)，为170.1×10⁶N；最小值在拱形的最高点，为51×10⁶N.根据实际岩性，拱脚处矿体抗压强度取为22.1 MPa，则对于拱脚处的承载拱截面宽度至少为7.69 m.

与此同时，在该空区左下侧有一形态类似的下位+225 m水平空区(见图3)，空区实际跨度L=71 m，拱失f=56 m，空区顶盖厚度为150~235 m，把此空区同样按照三铰拱轴曲线模型进行分析，轴力分布曲线如图4b所示.

图4b表明靠近上位空区合理拱结构A点支座拱脚处的轴压力为140.6×10⁶ N，至少需要6.36 m承载拱截面宽度.再加上中段拱结构在A点对截面宽度7.69 m厚度的要求，二者之和为14.05 m.但实际岩体工程上在A点支座处(间柱)的有效宽度仅为12 m.因此，这样的平面上下联合结构无法满足稳定要求，即会在拱脚处失稳破坏.

另一方面，对该条件下试算求解上位采空区的临界跨度L_临，估算结果为：L_临=70 m.此时，轴力分布曲线如图4c所示，该跨度下的A点支座处轴压力为123.3 N，这样就需要可供承载的拱截面厚度为5.58 m，与下位空区承载结构对A点处6.36 m厚度拱截面要求相吻合，二者之和11.94 m，刚好小于实际尺寸12 m.所以，此70 m跨度为该形态空区的临界跨度.即在延深方向，引起顶板围岩破坏的空区跨度为70 m；在沿走向方向，则为140 m.临界暴露面积为7 693 m².

实际空区顶板在延深方向空区跨度为85 m，已超出临界跨度值，走向跨度130 m，又已接近临界暴露面积值，空区处于活动亚稳定状态.因此，本工程实例在三铰拱轴曲线模型分析结果的基础上，采取了禁止间柱处矿体的继续开采，维持空区现有的暴露面积，及时转入活动空区充填治理工作，最大程度地给活动空区安全治理赢得了时间，使井下可持续生产得到保障.

1) 应力重分布使得空区顶板失稳前两拐角处形成塑性铰区，承载机构转为充分自稳的三铰拱形.可将空区顶板岩层近似为半跨的三铰拱轴曲线结构，以分析空区顶板的稳定性和可冒性.

2) 建立了三铰拱轴曲线模型，得出冒落线方程和拱轴压力方程.依此评判空区顶板稳定性和冒落线形式.同时，还可以计算空区的临界跨度和临界暴露面积.

3) 依托排山楼金矿工程实例，利用力学模型计算空区间柱最小有效宽度为14.05 m，空区延深方向上临界跨度为70 m，走向140 m，临界暴露面积7 693 m².与空区实际值相比，空区为活动状态.

4) 提出禁止间柱回采，维持空区现状，及时处理空区的治理措施，给活动空区安全治理赢得时间，使井下可持续生产得到保障.